Mukemmel Sayı,Kendisi Haric Carpanlarının Toplamı Kendisini Veren Sayıdır.Bilinen Butun Mukemmel Sayılar, Cift Sayıdır (6,28,496,8128, Gibi' ).Acaba Mukemmel Tek Sayı Var mıdır.' Varsa, Saklandığı Yerden Bulup Cıkartınız. Yoksa,Olmadığını İspatlayınız. Cozum:
Mukemmel Cift Sayılar,2'.( 2''¹ - 1 ) Kuralına Gore Yazılabilirler.
n = 1 icin n = 2 icin n = 4 icin 2 . 3 = 6,2² . 7 = 28,2'.31=496 Gibi
Dikkat Edilirse,2'' Cift Sayıdır Ve ( 2''¹ - 1 )İse Tek,Sayıdır.Carpımı da Cift Sayı Olur. Mukemmel Tek Sayı Var İse carpanları Tek Sayı Olmalıdır ki Tek Sayıyı Versin.Yani, X = ( 2k + 1 )'.[A] Şeklinde Yazabiliriz.X: Mukemmel Tek Sayı Kabul Edelim.
[A]: Tek Ve Asal Sayı Olsun.(2k+1): Tek Ve Asal Sayı Olsun.
Burada X Tek Sayı Olduğu İcin Asal Carpanlarına Ayrıldığında Asal Carpanları da Tek Sayıdır.(2k+1)'[2k+1)¹[2k+1)²+'[2k+1)'+A+A.(2k+1)¹+A.(2k+1)²+'+ A.(2k+1)'¯¹ =(2k+1)'.A = X Şeklinde Yazılabilir. Buradan Hareketle,' _(p=o)^n(2k+1)'+A .' _(p=o)^(n-1)(2k+1)'=(2k+1)'.A '((2k+1) '^(+1)-1)/(( 2 k+1 )- 1) +A . (( 2 k+1 )'-1)/(( 2 k+1 )- 1) =( 2 k+1 )'.A'((2 k+1)'^(+1)-1)/(2k]A.((2k+1)'-1)/(2k)=(2k+1)'.A
'((2 k+1 )'^(+1)-1+A.[(2k+1)'-1])/(2 k)=(2k+1)'.A '(2k+1)''¹-1+A.(2k+1)'-A=(2k).(2k+1)'.A'(2k+1)''¹ -1=A.(2k).(2k+1)'- A.(2k+1)' +A
'A.[(2k).(2k+1)'-(2k+1)'+1]=(2k+1)''¹-1'A.[(2k+1)' .( 2 k -1 ) + 1 ] = ( 2 k + 1 ) ''¹ -1 'A=((2 k+1 )'^(+1)-1)/((2k+1)' .(2 k-1 ] 1)
İfadesi Elde Edilir. Burada A, Tek Ve Aynı Zamanda Asal Sayı Olmalıdır.
k=1 icin ve n=1 icin 'A=((2k+1)'^(+1)- 1)/(( 2 k+1 )'.(2k-1]1)
'A=(3'^(+1)-1)/(3'+1)=(3²-1)/(3+1)= 8/4=2 2 Asal Sayıdır,Fakat Cift Sayı Olduğundan Carpım Tek Sayı Cıkmaz. Yani 2.3=6 Sonucu Cıkar.A=3 Olsun(k=1 İcin)3=(3'^(+1)-1)/(3'+1)'3.3'+3=3'^(+1)-1 '3'^(+1]3
=3'^(+1)- 1 '3 '-1 Sağlamadı. A=3 Ve k=2 Olsun 3=(5'^(+1)-1 )/(5 '.3+1)'9.5'+3=5.5'-1 '4.5' =-4'5' = -1(Bu Eşitliği Sağlayacak 'n' Tam Sayısı Yoktur.)Aynı Şekilde İşlemlere Devam Edilirse, Bu Eşitliği Sağlayacak A, Tek Ve Asal Sayı Olacak Şekilde(k) Ve (n) Tam Sayıları Yoktur.Sonuc Olarak, Mukemmel Tek Sayı Yoktur.
Mukemmel Cift Sayılar,2'.( 2''¹ - 1 ) Kuralına Gore Yazılabilirler.
n = 1 icin n = 2 icin n = 4 icin 2 . 3 = 6,2² . 7 = 28,2'.31=496 Gibi
Dikkat Edilirse,2'' Cift Sayıdır Ve ( 2''¹ - 1 )İse Tek,Sayıdır.Carpımı da Cift Sayı Olur. Mukemmel Tek Sayı Var İse carpanları Tek Sayı Olmalıdır ki Tek Sayıyı Versin.Yani, X = ( 2k + 1 )'.[A] Şeklinde Yazabiliriz.X: Mukemmel Tek Sayı Kabul Edelim.
[A]: Tek Ve Asal Sayı Olsun.(2k+1): Tek Ve Asal Sayı Olsun.
Burada X Tek Sayı Olduğu İcin Asal Carpanlarına Ayrıldığında Asal Carpanları da Tek Sayıdır.(2k+1)'[2k+1)¹[2k+1)²+'[2k+1)'+A+A.(2k+1)¹+A.(2k+1)²+'+ A.(2k+1)'¯¹ =(2k+1)'.A = X Şeklinde Yazılabilir. Buradan Hareketle,' _(p=o)^n(2k+1)'+A .' _(p=o)^(n-1)(2k+1)'=(2k+1)'.A '((2k+1) '^(+1)-1)/(( 2 k+1 )- 1) +A . (( 2 k+1 )'-1)/(( 2 k+1 )- 1) =( 2 k+1 )'.A'((2 k+1)'^(+1)-1)/(2k]A.((2k+1)'-1)/(2k)=(2k+1)'.A
'((2 k+1 )'^(+1)-1+A.[(2k+1)'-1])/(2 k)=(2k+1)'.A '(2k+1)''¹-1+A.(2k+1)'-A=(2k).(2k+1)'.A'(2k+1)''¹ -1=A.(2k).(2k+1)'- A.(2k+1)' +A
'A.[(2k).(2k+1)'-(2k+1)'+1]=(2k+1)''¹-1'A.[(2k+1)' .( 2 k -1 ) + 1 ] = ( 2 k + 1 ) ''¹ -1 'A=((2 k+1 )'^(+1)-1)/((2k+1)' .(2 k-1 ] 1)
İfadesi Elde Edilir. Burada A, Tek Ve Aynı Zamanda Asal Sayı Olmalıdır.
k=1 icin ve n=1 icin 'A=((2k+1)'^(+1)- 1)/(( 2 k+1 )'.(2k-1]1)
'A=(3'^(+1)-1)/(3'+1)=(3²-1)/(3+1)= 8/4=2 2 Asal Sayıdır,Fakat Cift Sayı Olduğundan Carpım Tek Sayı Cıkmaz. Yani 2.3=6 Sonucu Cıkar.A=3 Olsun(k=1 İcin)3=(3'^(+1)-1)/(3'+1)'3.3'+3=3'^(+1)-1 '3'^(+1]3
=3'^(+1)- 1 '3 '-1 Sağlamadı. A=3 Ve k=2 Olsun 3=(5'^(+1)-1 )/(5 '.3+1)'9.5'+3=5.5'-1 '4.5' =-4'5' = -1(Bu Eşitliği Sağlayacak 'n' Tam Sayısı Yoktur.)Aynı Şekilde İşlemlere Devam Edilirse, Bu Eşitliği Sağlayacak A, Tek Ve Asal Sayı Olacak Şekilde(k) Ve (n) Tam Sayıları Yoktur.Sonuc Olarak, Mukemmel Tek Sayı Yoktur.