MATEMATİK VE DOĞA


MATEMATİK DOĞADA VARMIDIR?


Matematiksel kavramların doğada olmadığını savunanlar var. Aşağı yukarı şu şekilde savunuyorlar.
Doğada matematiksel bir nokta yoktur orneğin. Cunku matematiksel nokta boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de gorulebilir. Kalemi kağıda dokundurduğumuzda elde ettiğimiz nokta boyutludur, matematiksel nokta gibi boyutsuz değildir. Elektronun, uc boyutu ve az da olsa bir ağırlığı vardır. “işte nokta” diye gosterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa cok kucuk benekler vardır.
Doğa da matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kağıdın ustune cizdiğimiz “duz” cizgi hem sonludur, hem duz değildir, hem de birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne kadar duz yazarsa yazsın cizdiğimiz cizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yuksekliği yoktur.
Doğada “sonsuz” da yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki, atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuza kadar gidemez, kimse sonsuzu gosteremez. Kimse sonsuzda olduğunu duşunemez. Duşlerimiz bile sonluda yer alır.
Doğada π sayısı da yoktur. Cunku π sayısı 3,141592653... diye sonsuza kadar uzayıp giden bir sayıdır. Virgulden sonra gelen sayılar belli bir duzene gore yinelenmezler. Bu yuzden, sonsuz olmadığında π de yoktur. Kimse π’yi tam olarak yazamaz. π’yi, bir cemberin(dairenin) capına bolunduğunde elde edilen sayı olarak tanımlamak, π’nin doğada olduğunu gostermeye yeterli değildir. Cunku bir cemberi ve capını hesaplayıp bolme işlemi yaptığımızda, π’yi değil, π’ye yaklaşık bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir cember yoktur. Doğada “işte cember” diyebileceğimiz bir nesne yoktur. Cember matematikcilerin yarattığı bir kavramdır. Zaten uygulamalarda π gibi gercel sayılara gereksinim duymayız. 3,14159=314159/10000 gibi kesirli sayılar uygulamalarda yeterlidir. Bu da, π’nin doğada olmadığı savını desteklemez mi?
Doğada π olmadığı gibi, 0.99999999... sayısı da yoktur. Cunku bu sayıyı yazmak icin virgulden sonra sonsuz tane 9 gerekir ve ne yazık ki bu iş icin zamanımız yok!
Doğada “bir” yoktur. Doğada olsa olsa “bir elma, bir armut” vardır. Ama doğada “bir” yoktur. Hatta doğada “bir elma” bile yoktur. Elmayla elmanın bulunduğu ortam arasındaki sınır tam olarak belli değildir ki! Elmayla elmanın bulunduğu ortam arasında surekli bir molekul alış verişi vardır. Orneğin curumeye yuz tutan bir elmanın tam olarak ne zaman elmalıktan cıktığını soyleyebilir miyiz? Her şey değiştiğinden, hicbir şey olduğu gibi kalmadığından doğada “bir” yoktur. Doğada “bir” olmadığı gibi başka sayı da yoktur. Sayıları insanlar yaratmıştır.
Ya sıfır? Sıfır var mıdır doğada? Sıfır, olmayan nesne sayısıdır. Olan nesneleri sayamadığımızı yukarıda gorduk, olmayan nesneleri saymak daha da zor olsa gerek!
Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur.
Matematiğin doğada olmadığı uc aşağı beş yukarı boyle savunulur.

MATEMATİĞİN KAYNAĞI DOĞAMIDIR?


Hic kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikcilerin uydurması olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. “Bir” kavramı, “cember” kavramı, “π” kavramı vardır.bu kavramlar matematikcilerin yaratısı bile olsa, duşunce olarak bile olsa vardırlar. Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiğin doğada olup olmadığı sorusu sorulmazdı. Bu kavramlar yoktan varolmamamıştır. En soyut duşunceler bile somuttan kaynaklanır. Her duşunce urunu bizim dışımızdaki gerceklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut duşuncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki dunyadır.
Her duşunce urunu gibi matematiğin de kaynağı dış dunyamızdır. Yani matematik dış dunyadan tamamıyla bağımsız değildir.


MATEMATİK VE TEKNOLOJİ


Gunumuz ileri teknolojisine matematik sayesinde eriştiğimiz goz onune alınınca, matematiğin busbutun doğadan bağımsız olmadığı anlaşılıyor. Matematiğin cok soyut kavraları bile zamanla uygulama alanları bulabiliyor. Bu da, matematiğin doğayı uc aşağı beş yukarı kavrayabildiğini, betimleyebildiğini, doğanın yasalarını gerceğe oldukca sadık kalarak kağıda dokebildiğini gosterir. Demek ki matematik, bir olcude bile olsa, doğayı anlamamızı sağlıyor. Doğada “bir” olsun veya olmasın, matematikteki bir kavramıyla tansıklık yaratılıyor: uzaya gidiliyor, gokdelenler dikiliyor, uydular aracılığyla dunyanın bir koşesiyle ses ve goruntu bağlantısı kuruluyor... Matematik doğanın yasalarını ve mantığını anlamaya calışan ve bunda da cok başarılı olan bir bilim dalı ve uğraştır. Teknoloji, bugun matematikle, fizikle, kimyayla ve muhendislik uygulamalarıyla geliştiriliyor. Calışmalar ilk once kağıt uzerine dokuluyor, sonra uygulamaya geciriliyor. 1-Uygulanan matematik vardır
2-Bugun uygulama alanı bilinmeyen soyut matematik vardır.
3-Bugun soyut sanılan matematik gelecekte uygulama alanları bulabilir (bulamayabiklir de).

MATEMATİK DOĞAYI YORUMLAR

Bir ressam yaptığı resimlere doğayı aynen yansıtmaz, onu yorumlayarak yapar. Matematik de resim gibi doğayı yorumlar. Orneğin iki nokta arasındaki uzay parcası matematikte bir sayıyla (iki nokta rasındaki uzaklıkla) ifade edilir. Elbette bir sayı ile bir uzay parcası arasında ayrım vardır. Burada bir yorum soz konusudur.
Bir başka ornek: beş metre uzunluğunda bir cetvel uzerinde π’nin yerini tam olarak gosteremeyiz. O zaman doğada fiziksel anlamda π sayısının olup olmadığını nerden biliyoruz?
Biraz daha ileri gidelim. Doğada, fiziksel anlamda, 0’dan buyuk ama 1/2’den, 1/3’ten, 1/4’ten ve genel olarak n>0 tamsayısı icin 1/n’den kucuk bir sayının olmadığını kabul ediyoruz. Yani, sonsuz kucuk sayıların doğada fiziksel anlamda olmadıklarını kabul ediyoruz. Neden? Nereden belli? Belki sonsuz kucuk sayılar var da biz gozlemleyemiyoruz. Boyle bir olsılık vardır. Hic kimse bu sayıların doğada olmadıklarına guvence veremez.
Son bir ornek: matematikte 3 sayısı kumesi olarak, 2 sayısı , 1 sayısı olarak tanımlanır. 0 sayısıysa Ø olarak, yani boş kume olarak tanımlanır. Gorulduğu gibi sayıların matematiksel tanımı bir yorumdur.
Demek ki matematik doğayı yorumlar, tam olarak betimlemez.

MATEMATİK DOĞADA VARDIR

Matematik, doğayı –yaklaşık olarak bile olsa- anlamamızı sağlar. Teknolojik gelişmeler bunun bir kanıtıdır.
Doğa yalnızca gorduklerimiz, duyduklarımız, kokladıklarımız, duyumsadıklarımız değildir. Doğanın bize sergiledikleri de vardır. Orneğin, matematiksel doğru doğada fiziksel olarak bulunmayabilir, ama doğru duşuncesi (kavramı) doğada vardır ve doğa bize doğru kavramını sezdirtir. Upuzun bir ağac, denizle gokyuzunu ayıran cizgi, guneş ışınları doğru kavramını fısıldarlar. Bal peteğinin hucreleri matematiksel altıgeni, gece gorduğumuz yıldızlar matematiksel noktayı, ay, guneş ve gezegenler matematiksel cemberi ve kureyi fısıldarlar. Gezegenlerin yorungesi elipsi ve genel olarak eğriyi fısıldarlar. Gecen gunler, mevsimler ve yıllar, bir ormandaki ağaclar, bir bitkinin yaprakları, 1, 2, 3 gibi sayı kavramlarını fısıldarlar. Bu fısıltı biz insanlardan bağımsız vardır. Bu fısıltıyı duyabilecek varlık olmasa da fısıltı vardır.
Doğada “işte!” diye gosterebileceğimiz bir “bir” olmayabilir. Ama doğa bize “bir” kavramını fısıldar. Avustralya ve Afrika’nın yerlileri de, Aztekler de, İnkalar da, Batı kulturuyle tanışmamış olmalarına karşın, 1’i, 2’yi, 3’u bulmuşlardır. Demek ki doğanın bu fısıltısını duymak yalnızca bir uygarlığa ozgu değildir, her uygarlık duyabilir. Arı peteğinin her hucresi kusursuz bir altıgen olmayabilir. Ama arı, peteğinin hucresini yaparken hucrenin altıgen olmasına calışır. Sabun kopuğu mukemmel bir kure olmayabilir, ama sabun kopuğu mukemmel bir kure olmaya calışır. Sonsuz kucuk sayılar fiziksel olarak olsa da olmasa da, bu sayılar doğada duşunce/fısıltı olarak vardırlar, orneğin durmadan kuculen ama hicbir zaman sıfır olmayan ½, 1/3, ¼, 1/5... dizisi bize sonsuz kucuğu anlatır.


SONUC OLARAK; en temel matematiksel kavramlar doğada vardır. Matematiğin en derin, en soyut kavramları doğanın bize sunduğu en temel kavramlardan bir zorunluluk sonucu doğar. Her kavramın bağrında da başka kavramlar barınır.
Matematik, matematikcilerden ve insanlardan bağımsız olarak vardır. Pisagor dikucgenleri yaratmamıştır, keşfetmiştir. Galois, grupları yaratmamıştır, keşfetmemiştir. Noether, halkaları yaratmamıştır, keşfetmiştir. Hilbert, Hilbert uzaylarını yaratmamıştır, keşfetmiştir...
Kısacası matematik doğada vardır.

Pİ SAYISININ TARİHSEL GELİŞİMİ

ESKİ YUNAN'DA Pİ SAYISI

Kaynaklar pi sayısı icin, ilk gercek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak icin bir yontem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugunku bilinen gercek değerine cok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes'in genclik yıllarında Mısır'da uzun bir sure oğrenim gorduğu bilinmekte.

Archimedes'in sağlığında İskenderiye'de Oklid den ders aldığı, Oklid'in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yoresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikci olduğu, bilinen tarihi bir gercektir. İskenderiyeli tarihci Herodot, metrika adlı eserinde pi sayısı icin verdiği değer 3,71'dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron'dan sonra gelen, eski Yunan ve ortacağ matematikcileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron'un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar'dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir.

MEZOPOTAMYALILAR'DA Pİ SAYISI


Pi sayısı uzerinde, Babilliler'in cok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak p=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde p=3,125 değerine de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı gecen eserinde, "Mezopotamyalılar'da, idealleştirilmiş cemberlerle ucgenlerdeki geometrik munasebetler aracılığıyla, cozumlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur" der. Boyle problemlerde sonuc hesaplanırken pi sayısı icin, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.

Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuclar icin kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuclar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılarınki'nden ve Susa tabletlerinin gosterdiği değerden oldukca daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi icin de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil cağına ait olup, Susa'da bulunmuş olan tabletlerde pi icin kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.

Bugun bir veya cok bilinmeyenli cebir denklemleriyle cozduğumuz turden bircok problemlere Babil tabletlerinde rastlanmıştır. Mesela: Bu tablette, bir dikdortgenin eniyle boyunu veren sayılar birbiriyle carpılır ve bu sayılar arasındaki fark, bu carpıma eklenirse 153 elde ediliyor. Aynı sayılar birbirine eklenirse 27 cıkıyor. Bu şeklin eni, boyu ve yuzolcumu nedir sorusu soruluyor ve cevap olarak: 20, 7 ve 140 değerleri veriliyor.

Pİ SAYISININ 1000 BASAMAKLI ACILIMI


3,141592653589793238462643383279502884197169399375 1058209749445
92307816406286208998628034825342117067982148086513 2823066470938
44609550582231725359408128481117450284102701938521 1055596446229
48954930381964428810975665933446128475648233786783 1652712019091
45648566923460348610454326648213393607260249141273 724587006606
31558817488152092096282925409171536436789259036001 1330530548820
46652138414695194151160943305727036575959195309218 6117381932611
79310511854807446237996274956735188575272489122793 8183011949129
83367336244065664308602139494639522473719070217986 0943702770539
21717629317675238467481846766940513200056812714526 3560827785771
34275778960917363717872146844090122495343014654958 5371050792279
68925892354201995611212902196086403441815981362977 4771309960518
70721134999999837297804995105973173281609631859502 4459455346908
30264252230825334468503526193118817101000313783875 2886587533208
38142061717766914730359825349042875546873115956286 3882353787593
75195778185778053217122680661300192787661119590921 64201989...

TURK-İSLAM DUNYASI'NDA Pİ SAYISI


15. yuzyıl Turk - İslam Dunyası unlu matematik ve astronomi alimi, Giyasuddin Cemşid, pi sayısının değerini, 16 ondalığa kadar doğru olarak hesaplayan ilk kişidir. Cemşid'in pi icin verdiği değer p=3,1415926535898732 dir. 15. yuzyılda, pi sayısının, ancak 6. ondalığına kadar olan değeri bilinmiş olduğuna, 16. ondalığa kadar doğru değerin de, batı bilim dunyasında, Hollandalı matematikci Adriaen van Rooman tarafından, doğru olarak hesaplandığına gore, Gıyasuddin Cemşid'in bu konuda da, zamanının matematiğinden 200 yuzyıl ileride olduğu ortaya cıkmaktadır.

MATEMATİK VE MUZİK



Eski cağlardan beri muziğin matematik ile ilişkisi biliniyordu. Ortacağda eğitim programlarında muzik, aritmetik, geometri ve astronomi ile aynı grupta yer alırdı. Gunumuzde bilgisayarlar aracılığı ile bu bağ suruyor.
Matematiğin muzik uzerindeki etkisinin acıkca gorulebildiği alan, muzik parcalarının yazımıdır. Bir muzik parcasında ritim (4:4'luk, 3:4'luk, gibi), belirli bir olcuye gore vuruş, birlik, ikilik, dortluk, sekizlik... notalar bulunur. Bir olcuye gore n sayıda nota yazmak, matematikte ortak paydayı bulmaya benzer, cunku belirli ritimde, değişik uzunluktaki notalar belirli bir olcuye uydurulur. Besteciler, yapıtlarını nota yazısının katı kalıpları cercevesinde, mukemmel bir bicimde ve zorlanmadan yaratırlar. Karmaşık bir beste incelendiğinde, her olcunun, değişik uzunlukta notaları kullanan belirli sayıda vuruştan oluştuğu gorulur.
Matematik ile nota yazımının arasındaki bu ilişkinin yanı sıra muzik, oranlar, ustel eğriler, periyodik fonksiyonlar arasındaki ilişki de değerlendirilir. İlk kez oranlar ile muziği PISAGOR cular ilişkilendirmiştir. Sesin, cekilen bir telin uzunluğuna bağlı olduğu fark edilerek muzikte armoni ile tamsayılar arasındaki ilişki bulundu. Uzunlukları tamsayı oranlarında olan gergin tellerin armonik sesler verdiği goruldu. Gercekten de cekilen tellerin her armonik bileşimi tamsayıların oranı biciminde gosterilebilir. Orneğin, C(do) notasını cıkaran bir teli ele alalım. C'nin uzunluğunun 16/15'i B'yi (si), 6/5'i A'yı (la, 4/3'u G'yi (sol), 3/2'si F'yi (fa), 8/5'i E'yi (mi), 16/9'u D'yi verir.
Kuyruklu pianonun biciminin neden eğri olduğunu duşundunuz mu? Gercekten bir cok muzik aletinin bicimi ve yapımı matematiksel kavramlara dayanır. Ustel fonksiyonlar ve eğriler bu kavramlardandır. Ustel bir eğrinin denklemini y=a*kx (k>0) olarak duşunebiliriz. Telli ve uflemeli calgıların bicimler bu ustel eğrinin bicimiyle eşlenebilir.
Muzikal seslerin niteliğinin incelenmesi 19.yy'da matematikci FOURIER 'in calışmalarıyla doruğa cıktı. O, muzik aleti ve insandan cıkan butun muzikal seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini, bunun da basit periyodik sinus fonksiyonlarıyla olabileceğini kanıtladı. Her sesin, onu başka muzikal seslerden ayıran uc ozelliği vardır:

 perdesi

 yuksekliği

 dokusu


Fourier'in buluşu, sesin bu uc ozelliğinin grafikle gosterilmesini sağlamıştı. Ses dalgası, eğrinin frekansıyla: sesin yuksekliği, eğrinin genliğiyle ve sesin dokusu periyodik fonksiyonun bicimiyle ilişkilidir.
Muziğin matematiğinin kavranmasıyla, beste ve muzik aletleri yapımında bilgisayarlardan yararlanmak mumkun olmuştur.
1) Matematik doğanın dilidir.
2)Etrafımızdaki her şey sayılarla tanımlanabilir ve anlaşılabir.
3)Rakamları hangi sistemde grafiğe dokerseniz dokun bir şablon cıkar.
Bu yuzden doğada her yerde şablonlar vardır. Kanıt, bulaşıcı hastalıkların dongusu, dil populasyonlarının artması ve azalması, guneş lekesi donguleri, Nil nehrinin yukselip-alcalması.
Peki Borsaya ne demeli..? Rakamların evreni, bize evrensel ekonomiyi gosteriyor milyonlarca insan bir işte calışıyor, milyonlarca akıl hızlı ağlar yaşamla doluyor.
Bir şeyin boyutlar arasında meydana geldiği fikri ile ne kast edildiğini anlamak icin sıradan bir mektup kağıdını duşunun. Kağıt iki boyutluk bir duzlem, boy ve eni temsil etsin. Duzlemi buruşturup bir top haline getirin. Şimdi kac boyutu var? Tam olarak kure değil, ama artık bir duzlem de değil. Benzer şekilde, bir sahil şeridi de sıradan tek boyutlu bir cizgiden farklıdır. Tek duz bir cizgiden ziyade bir duzlemin yuzeyinde olabildiğince cok matematiksel noktadan gececek derecede buruşuk ve kırışıktır.
Karmaşık sayı duzlemi matematiksel yapının bir bolgesinde kurulmuş bir sayılar calılığıdır. Matematikciler ve bilgisayarcılar, bu bolgedeki sayılara doğrusal olmayan (geri bildirimli) basit formul ya da bir algoritma uygulayıp, bunu bilgisayar vasıtası ile grafiğe donuşturduklerinde belirli bir organik niteliği olan ve sanatı andıran cok cekici goruntuler elde edebilirler.


__________________