1. DERECEDEN 1 BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER


İcinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri icin doğru olan eşitsizliklere denklem denir.
Denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine o denklemin koku ya da kokleri denir. Denklemin kokunu veya koklerini bulmak icin yapılan işleme denklemi cozme; kok veya koklerin oluşturduğu kumeye ise cozum kumesi denir.
Denklem; icindeki bilinmeyen sayısı ve bilinmeyenin ussune gore adlandırılır.

O HALDE;
5x – 5 = 15, y + 2 = 6 acık onermeleri bir bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
2x + y = 9 acık onermesi iki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
x + y + z = 4 acık onermesi uc bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
x² - 9 = 16 acık onermesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.

İcinde bir tane bilinmeyeni bulunan ve ussu bir olan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

Genel olarak; a,b,c Є R ve a ≠ 0 olmak uzere ax + b = c şeklinde gosterilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

DENKLEM COZUMUNDE BİLİNMESİ GEREKEN OZELLİKLER

1. Bir eşitliğin her iki yanına aynı reel sayı
eklenirse, eşitlik bozulmaz. Bu ozeliğe; eşitliğin toplama kuralı denir.

2. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı
aynı reel sayıyla carpılırsa, eşitlik bozulmaz. Bu ozeliğe; eşitliğin carpma kuralı denir.

3. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı
aynı reel sayıya bolunurse, eşitlik bozulmaz. Bu ozeliğe; eşitliğin bolme kuralı denir.

4. Bir denklemde herhangi bir terimi eşitliğin
bir tarafından diğer tarafına gecirerek işlem yapmak gerekiyorsa; gecirilen terimin işareti değiştirilir.






Pratik Cozum
Bir denklemi pratik cozmek icin ;
Bilinmeyenler eşitliğin bir yanında, bilinenler eşitliğin diğer yanında toplanır. Eşitliğin bir yanından diğer yanına gecen terimin işareti değişir.
Her iki yanda toplama cıkarma işlemleri yapılır ve her iki yan bilinmeyenin katsayısına bolunerek bilinmeyen yalnız bırakılır. Denklem cozulmuş olur.

ORNEKLER

1. x + 6 = 10 denkleminin cozum kumesini
bulalım:

Cozum:
x + 6 = 10 denkleminde (+6) nın toplama
işlemine gore ters elemanı olan (-6), eşitliğin her iki yanına eklenirse eşitlik bozulmaz.

Buna gore; x + 6 = 10
x + 6 + (-6) = 10 + (-6)
x + 0 = 4
x = 4 olur.
C = olur.

Verilen bir denklemin cozumunun doğru yapılıp yapılmadığının araştırılmasına, denklemin sağlaması denir.

Bulunan kok, denklemde yerine yazılarak denklemin sağlaması yapılır boylece bulunan kokun doğruluğu kontrol edilir.

4 sayısının x + 6 = 10 denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

x = 4 icin x + 6 = 10
4 + 6 =10
10 = 10 olduğundan
cozum doğrudur.
x + 6 = 10
x = 10 – 6
x = 4 ve C = tur.

Demek ki; her iki şekilde yapılan cozum, aynı elemanı veren cozum kumesidir.

2. Verilen denklem parantezli olursa; aşağıda yapıldığı gibi, once dağılma ozeliği uygulanarak parantezler kaldırılır. Sonra da icerisinde bilinmeyeni olan terimler eşitliğin bir tarafına, oteki terimler de diğer tarafına gecirilir. Gerekli işlemler yapılarak denklem cozulur.


2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 )

Once, carpma işleminin toplama ve cıkarma işlemleri uzerine dağılma ozeliklerini uygulayalım


Cozum:

2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 )
2x + 6 + 7 = 25 – 2x + 4
2x + 13 = -2x + 29
2x + 2x = 29 – 13
4x = 16
x = 16 : 4
x = 4 ve C = olur.

3. Verilen denklem kesirli olursa, cozumu icin once paydalar eşitlenir. Denklem paydadan kurtarılır. Bunun icin, eşitliğin iki yanını ortak payda ile carpmak gerekir. Sonra da ornek cozumlerde belirtilen kurallara gore denklem cozulur.

3.(x–2) _ 2–x _ _ x _ 5 denkleminin cozum
4 2 ¯ 5 2 kumesini bulalım:

Cozum:
Paydaları eşitlersek:

3.( x- 2) – 2.( 2 – x ) – 4x _ x - 10
4 ¯ 4


3x – 6 – 4 + 2x – 4x =x – 10
3x + 2x – 4x – x = -10 + 6 + 4
5x - 5x = -10 + 10
0.x = 0

Bu eşitlik butun reel sayılar icin gecerli olduğundan verilen denklemin cozum kumesi C=R dır.

4. 5 sayısının, 2x – 6 = 3 denkleminin koku olup olmadığını araştıralım:

Cozum:
x = 5 icin 2x – 6 = 3
2 . 5 – 6 = 3
10 – 6 = 3
4 ≠ 3 olur

Buna gore 5 sayısı 2x – 6 = 3 denkleminin cozum kumesi değildir. Verilen bir sayının, verilen bir denklemin koku olup olmadığını anlamak icin verilen denklemdeki bilinmeyen sayı yerine yazılır. İşlemler yapılır.eğer eşitlik sağlanıyorsa bu sayı denklemin cozum kumesi, sağlanamıyorsa cozum kumesi değildir denir.

5. –5 + 6 _ 7 denklemini cozelim
3 ¯ 1

Cozum:

–5 + 6 _ 7 (Once paydaları eşitleyelim.)
3 ¯ 1
( 3 )

-5 + 6 _ 21 ( Carpma kuralı )
³˙ 3 ¯ 3 ˙³

-5x + 6 = 21 (Toplama kuralı )
-5x + 6 + (-6) = 21 + (-6)
-5x = 15

-5x _ 15 (Bolme kuralı )
5 ¯ 5

x = -3 tur. C =

6. 2.(5x - 6) + 2 = 30 denkleminin cozum kumesini R de bulalım

Cozum:
Carpma işleminin cıkarma işlemi uzerine dağılma ozeliğini uygulayarak parantezi acalım.

2.(5x - 6) + 2 = 30 ise
(2 . 5x) – (2 . 6) + 2 = 30
10x – 12 + 2 = 30
10x – 10 = 30 olur.

Şimdi ( -10) un toplama işlemine gore ters elemanı olan (+10) u eşitliğin her iki tarafına ekleyelim.

10x – 10= 30 ise
10x – 10 + (+10) = 30 + (+10)
10x + 0 = 40
10x = 40 10x _ 40
10 ¯ 10
x = 4 ve C= olur.


7. 2x – 5 = 7 denklemini R de cozelim:

Cozum:
Eşitliğin her iki tarafına, (-5) sayısının toplama işlemine gore tersi olan (+5) sayısını ekleyelim.

2x – 5 + 5 = 7 + 5

0

2x . 0 = +12
+2. x = 12 eşitliğinin her iki tarafını (+2) nin carpma işlemine gore tersi olan 1 ile carpalım:
2

1 6
2 . . 1 _ 12 . 1
2 ¯ 2
1 1

x = 6 bulunur.
C = 6 şeklinde cozum kumesi yazılır.

8. 5x + 2 = 27 denklemini R de cozelim.

Cozum:
Eşitliğin her iki yanına (+2) nin toplama işlemine gore tersi olan (-2) sayısını ekleyelim.



5x + 2 + (-2) = 27 + (-2)
0 25

5 . x = 25

Eşitliğin her iki yanını (+5) sayısının carpma işlemine
gore tersi olan 1 sayısı ile carpalım.
2

1 5
5 . x . 1 _ 25 . 1
2 ¯ 2
1 1

x = 5 bulunur.
Cozum kumesi C = olur.

Bu son orneği kısa yolla, aşağıdaki gibi yaparız:


5x + 2 = 27

toplanan

5x = 27 – 2

cıkan

( Eşitliğin bir tarafındaki toplanan terim, eşitliğin diğer tarafına cıkan olarak gecer. )

5 . x = 27

carpan

x = 25 : 5

bolen

( Eşitliğin bir tarafındaki carpan terim, eşitliğin diğer tarafına bolen olarak gecer.)

x = 5 bulunur.
C = olur.










KAYNAKLAR

Matematik Yrd. Kitap
ARTIM YAYINLARI - Lokman GUNDOĞDU

Matematik Yrd. Kitap
SERHAT YAYINLARI - Nalan KILAVUZ-Necla KARAKUZU-
Fatma Bilgen DAYIOĞLU-Metin KANIK

Anafen Liselere Hazırlık Soru Kitabı
ZİRVE YAYINLARI

İlkoğretim 7. Sınıf Matematik Ders Kitabi
YILDIRIM YAYINLARI - Saadettin EKMEKCİ-
İhsan KIYMETLI-Kemalettin AYHAN-Hasan YILDIRIM-Ucar YILDIRIM

INTERNETTEN;
www.STUDY WEB.com
www.YAHOO.com - www.ALTAVISTA.com

MATEMATİK DEFTERİ

CEŞİTLİ DERSHANELERİN CALIŞMAK AMACIYLA DAĞITTIĞI KİTAPCIKLAR
KIZILAY DERSHANESI - KARACAN DERSHANELERİ VS.
__________________