Matematiğin de Sınırları Var
' Yanıldım, gemiyi kacırdım'
John von Neumann

19. yuzyılın ortalarından itibaren, matematiğin temelleri, matematiğin hangi yolla yapılması gerektiği, matematiksel nesnelerin ne olduğu konuları sorgulanmaya başlandı. Matematiğin mutlak doğru, değişmeyen, tutarlı ve tam olduğu duşuncecinin herkes tarafından kabul edilmesine rağmen bazen ortaya bir turlu cevap bulamayan sorunlar cıkıyordu. Orneğin George Cantor'un mukemmel gibi gorunen kumeler kuramını Bertrand Russell'ın meşhur paradoksu sarsmıştı. Bu paradoksta Bertrand Russell: 'Kendi kendisinin elemanı olmayan butun kumelerin kumesini duşunun. Ve sonra şunu sorun, "Bu kume, kendisinin bir elemanı mıdır yoksa değil midir?". Eğer kendisinin bir elemanı ise, o halde kendisinin elemanı olmamalıdır.' diyordu.


Artık matematiğin belli temellere oturtulması gerektiğine inanan Alman matematikci Hilbert 20. yuzyılın başlarından itibaren matematiğin tumunu butun akıl yurutmeleri ve sonuc cıkarmaları bicimselleştirmeyi onerdi ve bu yolda calıştı. Eğer kusursuz gibi gorunen akıl yurutmeler sonucunda sıkıntılı ya da celişkili sonuclara ( paradokslarda olduğu gibi ) ulaşıyorsak cozum icin sembolik mantık kullanılmalıdır. Yapay bir dil oluşturarak bu dille daha kolay ve dikkatli duşunulebilir. Boyle duşunen Hilbert once aksiyomatik yontemin onemini vurguladı. Sembolik mantığı da kullanarak bir onermenin ya tamamıyla doğru ya da tamamıyla yanlış, ikisinin arasında bir şey olmadığını, bicimsel aksiyomatik sistem icerisinde formule edilen bir ispatın mutlak olarak acık ve tamamıyla puruzsuz olması gerektiğini vurguladı. Başka bir deyişle Hilbert, oyunun kuralları, tanımlar, temel kavramlar, gramer ve dil-oyunun butun kuralları-konusunda tamamıyla net olmalıyız ki matematiğin nasıl yapılacağı uzerinde uzlaşabilelim diyordu. Pratikte, bu
tur bir bicimsel aksiyomatik sistemi kullanmak cok zahmetli bir iş olacaktır, fakat bu sistem felsefi olarak onemlidir. Cunku boylece matematiksel akıl yurutmenin herhangi bir parcasının butun sorularının doğruluğu bir defada cozulecektir. Hilbert bir aksiyomlar kumesine ve bu bicimsel dile sahip olmayı onerdi. Bu bicimsel sistem, hepimizin uzerinde anlaşabileceği ve butun matematiksel akıl yurutmeleri icerecek mukemmel bir sistem olacaktı! Bundan sonra oyunun butun kurallarını bilecektik.

Hilbert'in Matematiğin tumunu bicimselleştirme cabası ve boylece tum matematikcilerin goruş ayrılığı yaşamadan calışma yapma şansı maalesef boşa cıkmıştır. Hilbert'in planının işlemesi ve daha kotusu işleyebilir hale getirilmesi bile imkÂnsızdır.

Bu sonuca 1931 yılında ulaşıp ortalığı sarsan ve Hilbert'e en mutsuz ve şaşkın gunleri yaşatan kişi Kurt Godel'dir. Godel bir sistemin tutarlı olup olmadığının o sistem icinde kanıtlanamayacağını kanıtlamıştır. Şunu soyluyordu: Herhangi tutarlı aksiyomlar kumesi verildiğinde bu kumenin icinden turetilemeyecek doğru aritmetiksel onermeler vardır. Bu sonuc, matematiğin tutarlı olduğunun kanıtlanamayacağının kanıtıydı. Dolayısıyla, kendi icinde kapalı bir sistem oluşturduğu sanılan Hilbert formalizminin cokuşu anlamına geliyordu. O zamana kadar kimse Hilbert'in yanılmış olabileceğini duşunmuyordu. Ancak Godel'in kanıtı ile anlaşıldı ki icinde bir şeyin doğru olup olmadığını duru ve acık kılacak, butun matematiksel gercekliği kapsayacak, bir kurallar kumesi uzerine anlaşıp matematiğin tumu icin bicimsel bir aksiyomatik sisteme sahip olacak hicbir yol yoktur! Boylece Godel, Hilbert'in sonuclarının ulaşılmaz olduğunu gostermiştir.
Godel'in ulaştığı sonucların onemi, henuz tumuyle anlaşılamamışsa da cok geniş kapsamlı olduğu bilinmektedir. Bu sonuclar matematiksel felsefeye yon vermiş, yeni sorular ortaya cıkarmış ve bu sorulara cevap veren yeni sonuclar doğurmuştur. Fakat bilinmesi gerekenler her zaman var olacaktır. Belki bu da Godel sonuclarının bir yorumudur.
__________________