’Bir ya da daha fazla fonksiyonun turevlerini iceren denklemlere diferansiyel denklemdenir’’. Diğer bir ifadeyle diferansiyel denklem bir takım fonksiyonlar ile bunların turevleri
arasındaki ilişkiyi temsil eder. Bu kavram ilk olarak 1676 yılında Leibniz tarafından kullanıldı ve diferansiyel denklemler uzun zamandır cok ceşitli problemin modellenmesi ve cozulmesi icin bilim adamları ve muhendisler tarafından kullanılmaktadır. Coğu bilimsel problemlerin tarif edilmesi bazı anahtar değişkenlerin diğer değişkenlere gore olan değişimlerini icerir. Değişkenlerin sonsuz kucuk veya diferansiyel değişimlerinin dikkate alınması durumunda, değişim hızlarını turevlerle ifade ederiz, boylece fiziksel prensip ve kanunlar icin kesin matematiksel formulasyonlar sağlayan diferansiyel denklemler elde edilir. Bu yuzden diferansiyel denklemler uzun zamandır doğa bilimleri ve muhendislikte karşılaşılan cok farklı problemlere başarıyla uygulanmaktadır.
Araştırmalar, diferansiyel denklemlerin yeni uygulamalarını
keşfetmeye sadece fiziksel bilimlerde değil aynı zamanda biyoloji, tıp, istatistik, sosyoloji, psikoloji ve ekonomi gibi alanlarda da devam etmektedirler. Hem teorik hem de uygulamalı diferansiyel denklem araştırmaları gunumuzde cok aktif araştırma konuları arasında bulunmaktadır.
Bir ya da daha fazla bağımlı değişkenin tek bir değişkene gore adi turevlerini iceren diferansiyel denklemlere Adi Diferansiyel Denklem (ADD) denir. Bunun yanında icerisinde bir ya da daha fazla bağımlı değişkenin, bir ya da daha cok bağımsız değişkene gore turevleri bulunan denkleme ise Kısmi Diferansiyel Denklem (KDD) diyeceğiz. Bu anlatımda ADD konusu uzerinde durulacak olup KDD konusu daha cok lisansustu duzeylerde ele alınmaktadır. Adi bir diferansiyel denkleme ornek olarak
verilebilir.
Bir diferansiyel denklemde en yuksek mertebeli turevin mertebesi diferansiyel denklemin Mertebesini verir. Orneğin ustteki denklem 3. mertebedendir denir. Bunun yanında, mertebeyle sıkca karıştırılan bir kavram olan derece’ye de değinmek gerekir. Bir diferansiyel denklemde bulunan en yuksek mertebeli turevin ussune, bu diferansiyel denklemin derecesi denecektir.
Bir diferansiyel denklemdeki bağımlı değişken ve tum turevleri
birinci dereceden ise, diferansiyel denkleme lineer diferansiyel denklem denir. Dolayısıyla icerisinde
gibi terimler bulunan denklemler lineer değildir. Bunun yanında denklem
turunden ifadeler icerebilir. Daha genel bir ifadeyle eğer bir diferansiyel denklem
formunda ifade edilebiliyorsa denkleme lineerdir diyeceğiz, aksi halde lineer olmayan bir diferansiyel denklem soz konusudur. Bu denklemde eğer R( x ) = 0 ise lineer diferansiyel denklem homojendir. Aksi durumda denklem homojen olmayan diferansiyel denklem adını alır.
arasındaki ilişkiyi temsil eder. Bu kavram ilk olarak 1676 yılında Leibniz tarafından kullanıldı ve diferansiyel denklemler uzun zamandır cok ceşitli problemin modellenmesi ve cozulmesi icin bilim adamları ve muhendisler tarafından kullanılmaktadır. Coğu bilimsel problemlerin tarif edilmesi bazı anahtar değişkenlerin diğer değişkenlere gore olan değişimlerini icerir. Değişkenlerin sonsuz kucuk veya diferansiyel değişimlerinin dikkate alınması durumunda, değişim hızlarını turevlerle ifade ederiz, boylece fiziksel prensip ve kanunlar icin kesin matematiksel formulasyonlar sağlayan diferansiyel denklemler elde edilir. Bu yuzden diferansiyel denklemler uzun zamandır doğa bilimleri ve muhendislikte karşılaşılan cok farklı problemlere başarıyla uygulanmaktadır.
Araştırmalar, diferansiyel denklemlerin yeni uygulamalarını
keşfetmeye sadece fiziksel bilimlerde değil aynı zamanda biyoloji, tıp, istatistik, sosyoloji, psikoloji ve ekonomi gibi alanlarda da devam etmektedirler. Hem teorik hem de uygulamalı diferansiyel denklem araştırmaları gunumuzde cok aktif araştırma konuları arasında bulunmaktadır.
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Bir ya da daha fazla bağımlı değişkenin tek bir değişkene gore adi turevlerini iceren diferansiyel denklemlere Adi Diferansiyel Denklem (ADD) denir. Bunun yanında icerisinde bir ya da daha fazla bağımlı değişkenin, bir ya da daha cok bağımsız değişkene gore turevleri bulunan denkleme ise Kısmi Diferansiyel Denklem (KDD) diyeceğiz. Bu anlatımda ADD konusu uzerinde durulacak olup KDD konusu daha cok lisansustu duzeylerde ele alınmaktadır. Adi bir diferansiyel denkleme ornek olarak
MERTEBE – DERECE
Bir diferansiyel denklemde en yuksek mertebeli turevin mertebesi diferansiyel denklemin Mertebesini verir. Orneğin ustteki denklem 3. mertebedendir denir. Bunun yanında, mertebeyle sıkca karıştırılan bir kavram olan derece’ye de değinmek gerekir. Bir diferansiyel denklemde bulunan en yuksek mertebeli turevin ussune, bu diferansiyel denklemin derecesi denecektir.
LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Bir diferansiyel denklemdeki bağımlı değişken ve tum turevleri
birinci dereceden ise, diferansiyel denkleme lineer diferansiyel denklem denir. Dolayısıyla icerisinde
gibi terimler bulunan denklemler lineer değildir. Bunun yanında denklem
turunden ifadeler icerebilir. Daha genel bir ifadeyle eğer bir diferansiyel denklem
formunda ifade edilebiliyorsa denkleme lineerdir diyeceğiz, aksi halde lineer olmayan bir diferansiyel denklem soz konusudur. Bu denklemde eğer R( x ) = 0 ise lineer diferansiyel denklem homojendir. Aksi durumda denklem homojen olmayan diferansiyel denklem adını alır.
__________________