Gridin icinde yer alan duğum (node) noktalardaki sıcaklık değerlerini 0°C veya herhangi bir sıcaklık değeri olarak atamak başlangıc koşulu icin yeterli olmaktadır. Isı iletim denkleminin yukarıda belirtilen başlangıc ve sınır koşulları altında cozulebilmesi icin oncelikle belirli bir yeraltı modeline ve bu modelde yer alan jeolojik birimlere ait ısıl parametrelerin (ısı iletim katsayısı, hacim başına ısı uretimi, vb.) belirlenmesine ihtiyac vardır. Bunlar genellikle yerbilimleri icindeki farklı disiplinlerin kendilerine ozgu yontemleri kullanarak yapacakları ortak calışmalarla belirlenmektedir.
Sonlu farklar yontemi ile ısı transferi modellemesinin ilk aşaması eldeki yeraltı modelinin belirlenecek grid aralıklarıyla yatay ve duşey yonlerde ayrıklaştırılarak sonlu farklar gridinin oluşturulmasıdır. Yatay (Dx) ve duşey (Dz) yondeki grid aralıklarının seciminde dikkat edilmesi gereken nokta bunların modeldeki değişimleri doğru şekilde ifade edebilmesidir. Bilindiği gibi grid aralığı ne kadar kucuk ise sonlu farklarla hesaplanan sayısal turevlerdeki hata miktarları da o oranda kucuk olur. Ancak kucuk grid aralığı sonlu farklar gridindeki duğum (node) sayısını artıracağından cozum icin daha fazla bilgisayar zamanına (CPU time) ihtiyac duyulacaktır. Bu nedenle modelin yatay ve duşey yondeki uzanımları (model boyutları) ve yukarıda belirtilen hususlar goz onunde bulundurularak en uygun (optimum) grid aralıkları belirlenmelidir. Sonlu farklar yontemi yatay ve duşey yonde farklı grid aralıklarının kullanımına imkan vermesine rağmen bunlar birbirine eşit olarak da alınabilir.
Sonlu farklar algoritmasında grid icinde herhangi bir (i,j) noktasındaki sıcaklık değeri bu noktaya komşu olan (i+1,j), (i-1,j), (i,j+1) ve (i,j-1) noktalarındaki sıcaklık değerleri kullanılarak hesaplanır. Aşağıda kartezyen koordinat sisteminde herhangi bir (i,j) noktasındaki sıcaklık değeri T(i,j)' yi veren sonlu farklar ifadesi yer almaktadır,
Ti,j = .
Burada,
K1 = Km+1/2, n= 0.5(Km+1, n + Km, n),
K2 = Km-1/2, n = 0.5(Km-1, n + Km, n),
K3 = Km, n+1/2 = 0.5(Km, n+1 + Km, n),
K4 = Km, n-1/2 = 0.5(Km, n-1 + Km, n)
ve Dx ile Dz yatay ve duşey grid aralıkları olup, "A" hacim başına ısı uretimidir ve "K" ısı iletim katsayısını temsil etmektedir (Reiter ve Clarkson, 1983). Eşitlik 10’da yer alan sonlu farklar ifadesi ile grid icindeki duğum noktalarında sıcaklıkların hesaplanması ve sınır koşullarını kullanarak modelin sınırları boyunca yer alan noktalardaki sıcaklık değerlerinin belirlenmesi ısı transferi modellemesinin esasını oluşturur. Matematiksel anlamda bu bir sınır değer (boundary-value) problemi cozumudur. Matematiksel fizikte sıklıkla karşılaşılan sınırdeğer problemlerinin cozumunde ceşitli algoritmalar kullanılmaktadır. Bunlar icinde en cok tercih edilenleri relaksasyon (relaxation) yontemleridir. Bu yontemlerin temelini sınır ve başlangıc koşullarından hareketle yinelemeli (iterative) cozumlerle sonuca ulaşmak oluşturur. Okur bu konudaki daha detaylı bilgileri standart sayısal analiz kitaplarında bulabilir (Pres vd., 1986). Bu calışmada ele alınan problemler relaksasyon yontemlerinden olan "successive overrelaxation" metodu kullanılarak cozulmuştur. On iterasyonda bir tum grid noktalarındaki sıcaklıkların toplamı ile on iterasyon onceki toplam arasındaki fark 10°C den kucuk olduğu zaman iterasyon durdurularak cozum tamamlanmıştır.
Gridin tum noktalarındaki sıcaklıkların hesaplanmış olması ve modeli oluşturan birimlere ait ısı iletim katsayılarının biliniyor olması modelin yuzeyi boyunca acığa cıkan ısı akısının hesaplanmasına olanak verir. Bu, yuzey boyunca olan noktalardaki sıcaklıklar ile yuzeyin hemen altındaki noktalardaki sıcaklıklar kullanılarak hesaplanan gradyan ile yuzey boyunca olan birimlere ait ısı iletim katsayıları kullanılarak kolaylıkla hesaplanabilir (Reiter ve Clarkson, 1983). Yine aynı yaklaşımla modelin herhangi bir noktasındaki ısı akısını da hesaplamak mumkundur.
Gokhan GOKTURKLER - DEU MUHENDİSLİK FAKULTESİ
FEN ve MUHENDİSLİK DERGİSİ
Cilt: 4 Sayı: 3 sh. 67-80 Ekim 2002
__________________