Doğal Sayıların Carpanları ve Katları
Doğal sayıların carpanları ve bolenleri carpan ağacından yararlanılarak bulunabilir.Bir sayının carpanları aynı zamanda o sayının bolenleri demektir.
BOLUNEBİLME KURALLARI
2 ile Bolunebilme:
Aşağıdaki bolme işlemlerini inceleyelim.Birinci bolme işleminde kalan 0 ikinci bolme işleminde kalan 1'dir.
Bir sayının 2' ye kalansız bolunebilmesi icin sayının birler basamağı 0 2 4 6 ya da 8 olmalıdır.Birler basamağında 1 3 5 7 ve 9 olan sayılar 2'ye kalansız olarak bolunmezler.Diğer bir deyişle tek sayılar 2'ye kalansız bolunmez cift sayılar 2' ye kalansız olarak bolunur.
*Tek bir sayı ile tek sayının toplamı her zaman cift sayıdır. (3 + 5 = 8 )
*Cift bir sayı ile cift sayının toplamı her zaman cift sayıdır. (4 + 6 = 10 )
*Cift bir sayı ile tek bir sayının toplamı her zaman tek sayıdır. (2 + 7 = 9 )
*Tek bir sayı ile tek sayının carpımı cift sayıdır. (3 x 5 = 15 )
*Cift bir sayı ile cift bir sayının carpımı cift sayıdır. (6 x 8 = 48 )
*Tek bir sayı ile cift sayının carpımı cift sayıdır. ( 5 x 4 = 20 )
Problem: a cift bir sayı ve b tek bir doğal sayı ise sayısı tek midir cift midir?
Cozum:
CXC = C olduğundan a.a = C olur.
T X T = C olduğundan 2.b = C olur.
Ve C + C = C olur.
5 ile Bolunebilme:
Aşağıdaki bolme işlemlerini incelediğimizde sayıların 5'e bolumlerinde kalanlar gorulmektedir.
Birler basamağı 0 ve 5 olan sayılar 5'e kalansız olarak bolunur.
Bir sayının 5'e bolumunden kalanı işlem yapmadan bulmak icin sayının birler basamağına bakarız.Birler basamağındaki rakam 5'ten kucuk ise kalan birler basamağındaki sayı olur.Eğer birler basamağında bulunan sayı 5 ya da 5'ten buyuk ise o rakamın sayı değerinden 5 cıkarılır ve kalan bulunur.
Ornek:
763 sayısının 5'e bolumunden kalan kactır?
Cevap: Sayının birler basamağındaki rakam 3 olduğu icin 763 sayısının 5'e bolumunden kalan 3'tur.
1947 sayısının 5'e bolumunden kalanı bulalım.
Cevap:
Sayının birler basamağına bakarız.
1947---> Birler basamağında 7 var. 7'den 5 cıkarırsak 2 kalır. Demek ki sayının 5'e bolumunden kalan 2'dir.
10 ile Bolunebilme:
Bir doğal sayı aynı anda hem 2'ye hem de 5'e bolunebiliyorsa o sayı 10'a da bolunebilir.Başka bir yontem de; birler basamağında 0(sıfır) olan sayılar 10'a kalansız bolunur.
3 ile Bolunebilme:
Bir sayının 3'e kalansız bolunup bolunmediğini anlamak icin sayıdaki rakamların sayı değerleri toplanır.Eğer bulunan sayı 3 ya da 3'un katları ise sayı 3'e kalansız olarak bolunur.
Ornek:
729 ---> 7 + 2 + 9 = 18 18 sayısı 3'un katı olduğundan 729 sayısı 3'e kalansız olarak bolunur.
1625 ---> 1 + 6 + 2 + 5 = 14 14 sayısı 3'un katı olmadığından sayı 3'e kalansız olarak bolunemez.
Sayının 3'e bolumunden kalanı bulmak icin de ; sayı değerleri toplamı 3'e bolunur.Bolumden kalan sayısayının 3'e bolumunden kalandır. 3'e tam olarak bolunmeyen sayılarda kalan ya 1 ya da 2'dir.
1625 ---> 1 + 6 + 2 + 5 = 14 14:3 işleminden kalan 2'dir.
Problem: 2a93 sayısının 3'e kalansız olarak bolunmesi icin a yerine gelebilecek rakamlar kumesi nedir?
Cozum:
2a93 ---> 2 + 9 + 3 = 14
a icin 14 + 1 =15 14 + 4= 18 14 + 7 = 21
a yerine gelecek rakamlar 1 4 ve 7'dir.(Bu rakamları bulmak icin ilk bulunan sayının ustune 3'er sayma yaparak diğer rakamları bulabiliriz. 1 - 4 - 7 OLARAK BULDUĞUMUZ YUKARIDAKİ ORNEK GİBİ.)
9 ile Bolunebilme:
Bir sayının 9'a kalansız bolunup bolunmediğini anlamak icin sayıdaki rakamların sayı değerlerini toplarız.Bulunan sayı 9 ya da 9'un katı ise sayı 9'a kalansız olarak bolunur.Bir doğal sayının 9'a bolumunden kalan da sayı değerleri toplamının 9'a bolumunden kalandır.
8946 ---> 8 + 9 + 4 + 6 = 27 27 sayısı 9'a kalansız olarak bolunduğu icin 8946 da 9'a kalansız bolunur.
358 ---> 3 + 5 + 8 = 16 16:3 işleminden kalan 7 olduğu icin 358'in 9'a bolumunden kalan da 7'dir.
ASAL SAYILAR
1 ve kendisinden başka boleni olmayan sayılara asal sayılar denir.
1:1 = 1 2:1 = 2 3:1 = 3 4:1 = 4 5:1 = 5 6:1 = 6
2:2 = 2 3:3 = 3 4:2 = 2 5:5 = 1 6:2 = 3
4:4 = 1 6:3 = 2
6:6 = 1
Yukarıda gorulduğu gibi 2 3 5 asal sayı iken 4 ve asal sayı değildir.
1 sayısı asal sayı değildir.Cunku bolenler kumesi bir elemanlıdır. ( 1:1= 1 )
Asal sayıların en kucuğu 2'dir. 2 dışındaki tum asal sayılar tektir.
2:1 = 2 3:1 = 3 5:1 = 5 7:1 = 7 11:1 = 11
2:2 = 2 3:3 = 3 5:5 = 5 7:7 = 7 11:11 = 1 gibi.
Doğal Sayıları Asal Carpanlara Ayırma:
Bir sayının asal carpanlarını bulmak icin once sayının carpanları bulunur.Daha sonra carpanların icinden asal olan sayılar bulunarak sayı bunların carpımı şeklinde yazılır.Buna asal carpanlara ayırma denir.
Ornek: 21 sayısını asal carpanlara ayıralım.
21 x 1 = 21
3 x 7 = 21
1 3 7 21 ---> 21 sayısının carpanları
Bunların icinde 3 ve 7 asal sayılardır.Bu yuzden 21'in asal carpanları 3 ve 7'dir.
21=3 x 7 asal carpanların carpımı olarak yazılır.
Bir doğal sayıyı asal carpanlarının carpımı şeklinde yazmaya o sayıyı asal carpanlara ayırma denir.
Bir sayıyı asal carpanlara ayırmak icin 2 yol vardır.Bunu 36 sayısını asal carpanlara ayırarak gorelim.
1. yol 2. yol
36=2x18 36 2
=2x2x3x3 18 2
9 3
36= 2x2x3x3 3 3
1
36=
EN BUYUK ORTAK BOLEN (EBOB)
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bolenleri arasında en buyuk olanına bu sayıların en buyuk ortak boleni denir.
18 ile 42 sayılarının en buyuk ortak bolenlerini bulalım.
- Bolenleri yazarak:
18'in bolenleri ---> 1. 2 3 6 9 18
42'nin bolenleri --> 1 2 3 6 7 14 21 42
18 ile 42'nin ortak bolenleri kumesi 1 2 3 ve 6'dır.Bunların icinde de en buyuk olanı 6'dır.
6 sayısına 18 ve 42' nin en buyuk ortak boleni denir.
olarak yazılır.
-Asal carpanlara ayırarak:
30 36 ve 48 sayılarının EBOB'unu bulalım.
İki sayının en buyuk ortak bolenini bulmak icin sayıların her ikisini de bolen asal carpanlar alınıp carpılır.
EN KUCUK ORTAK KAT(EKOK)
İki sayının en kucuk ortak katını bulmak icin sayılar asal carpanlarına ayrılır.Bu asal carpanların icindenen buyuk uslu olan ile ortak olmayan asal carpanlar alınarak carpılır.En kucuk ortak kat bulunmuş olur.
3 ile 5'in katlarını yazarsak;
3 ---> 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 .....
5 ---> 5 10 15 20 25 30 ...
Yukarıdaki sayıların ortak olan katları 15 30 ...olur.Bunların arasında en kucuğu 15'tir.15 sayısı 3 ile 5'in en kucuk ortak katıdır.
şeklinde gosterilir.
6 ile 8'in EKOK'unu bulalım.
15 ve 20 sayılarının EBOB ve EKOK' unu bulalım.
PROBLEM:EBOB' u 9 ve EKOK'u 54 olan iki sayıdan biri 18 ise diğeri kactır?
Cozum:
"İki doğal sayının EBOB ve EKOK’ unun carpımı bu iki sayının carpımına eşittir." kuralını hatırlarsak;
9 x 54 = 18 x ? 486= 18 x ? 486: 18 = 27 bulunur.
ARALARINDA ASAL SAYILAR:
12 ve 45 sayılarının EBOB ve EKOK'unu bulalım.
+rep
__________________