İki sayının en buyuk ortak bolenini ve en kucuk ortak katını hesaplama yontemini milattan once 300 ’lu yıllarda Oklid, 'Elementler' isimli eserinde paylaşmıştır. Bu yonteme 'Oklit Algoritması' deniyor fakat buradan turetilmiş daha kolay hesaplama yontemleri de mevcut.
Genellikle sayıları asal carpanlarına ayırıp, ardından duruma gore uygun carpanları secerek istersek EBOB ’u ya da EKOK ’u hesaplayabiliyoruz. Gercek dunya ’da bir işe yaramayacaklarmış gibi gozukse de, tekstil gibi pek cok farklı sektorde kullanılabiliyor. Gelin şimdi EBOB ve EKOK nedir, nasıl hesaplanır birlikte bakalım.
[h=2]EBOB Nedir?[/h] En buyuk ortak bolen, iki veya daha fazla sayının en buyuk ortak bolenini ifade eder. Hesaplamak icin kullanılabilecek iki populer metot vardır. Bir tanesi Oklidin Elementler ’de ifade ettiği Oklid algoritması, ikincisi ise kısmen daha kolay ve daha sık kullanılan bir metot.
Herhangi iki sayının EBOB'unu 'EBOB()' şeklinde gosterelim. Oklid algoritması herhangi iki sayı uzerinde calışan bir algoritmadır. Elinizde a ve b sayıları varken uc durumdan soz edebiliriz.
1. Durum: a ve b sayısı birbirine eşittir (a=b) 2. Durum: a sayısı b sayısından buyuktur (a>b) 3. Durum: b sayısı a sayısından buyuktur (b>a) Eşitlik durumunda, iki sayı eşit olduğundan en buyuk ortak bolenleri kendileridir. Yani EBOB(a,b)=a=b olur.
Diğer herhangi bir durumda buyuk olan sayıyı kucuk olana boler, kalan değer sıfır olana dek kucuk sayı ile bolmeye devam ederiz. Şimdi a, b ’den buyukken eğer a ile b nin bolumunden kalan c ve c sıfırdan farklı ise, bu sefer b ile c yi boluyoruz ve kalanına bakıyoruz. Eğer sıfır değilse c ile bu sayıyı bolerek işlemlere devam ediyoruz. Kalan 0 olduğu zaman bulduğumuz kucuk bolen, başlangıctaki iki sayının EBOB ’u oluyor.
[h=2]EBOB nasıl hesaplanır?[/h] Yontem #1: Oklit algoritması ile hesaplama Yontem #2: Carpanlarına ayırarak hesaplama [h=3]Yontem #1: Oklit algoritması ile hesaplama:[/h] Adım 1#: Bolerek başlama Adım 2#: 0'a ulaşana kadar bolme işlemi Bir ornek uzerinden ilerleyelim. Sayılarımız 28 ve 16 olsun.
[h=3]Adım 1#: Bolerek başlama[/h]
28 ile 16 ’yı bolduğumuzde kalan 12 oluyor, sıfırdan farklı olduğu icin devam ediyoruz
[h=3]Adım 2#: 0'a ulaşana kadar bolmeye devam etmek[/h]
16 ile 12'yi bolduğumuzde kalan sayı 4 oluyor halen sıfırdan buyuk olduğu icin devam ediyoruz. Son aşamada ise elimizdeki sayı 12 ve 4 oluyor. Bunların bolumunde ise elimizde kalan 0 oluyor. Bu durumda 4 sayısı 28 ve 16'nın EBOB'u oluyor. Yani EBOB (28, 16)=4
[h=3]Yontem #2: Carpanlarına ayırarak hesaplama:[/h] Adım 1#: Asal carpanlarına ayırmak Adım 2#: Ortak olan asal carpanları secmek [h=3]Adım 1#: Asal carpanlarına ayırmak[/h]
Elimizdeki sayıar 28 ve 16 ’yı ilk olarak asal carpanlarına ayıralım.
[h=3]Adım 2#: Ortak olan asal carpanları secmek ve bulunan ortak sayıları carpmak[/h]
Şimdi ortak olan asal carpanları secelim, iki sayıda da 2 adet 2 ’nin ortak olduğunu goruyoruz. Bu sayıları carparak en buyuk ortak bolenlerini elde etmiş oluruz. Tabii ki cevap yine 4 olur.
[h=2]Peki EKOK nedir?[/h]
En kucuk ortak kat, verilen iki veya daha fazla sayının en kucuk ortak katını bulmamıza olanak sağlıyor. Hesaplamada yine asal carpanlardan yararlanabileceğimiz gibi, iki sayının en buyuk ortak bolenini kullanarak da EKOK hesaplayabiliyoruz.
Birinci metotta asal carpanları sıralayarak başlıyoruz. Ardından ortak carpanları birer defa yazıp, ortak olmayanları da dahil ederek carpma yapıyoruz ve sonuca ulaşıyoruz. İkinci metotta ise elimizdeki iki sayıyı carpıp mutlak değer icerisine alıyoruz. Ardından sonucu bu iki sayının EBOB'una bolerek EKOK ’a ulaşmış oluyoruz. Şimdi bunlara detaylıca bakalım.
[h=2]EKOK nasıl hesaplanır?[/h] Yontem #1: Asal carpanları kullanarak EKOK hesaplama Yontem #2: Asal carpanları uslerle ifade ederek EKOK hesaplama [h=3]Yontem #1: Asal carpanları kullanarak EKOK hesaplama:[/h] Adım 1#: 28 ve 16'yı asal carpanlarına ayırma Adım 2#: Aynı olan carpanlardan birer tane almak ve sonuca ulaşma [h=3]Adım 1#: 28 ve 16'yı Asal carpanlarına ayırma[/h]
EBOB anlatımında yapıldığı gibi aynı şekilde 28 ve 16'yı asal carpanlarına ayırıyoruz
[h=3]Adım 2#: Aynı olan carpanlardan birer tane almak ve sonuca ulaşmak[/h]
Şimdi aynı olan carpanlardan birer tanesini alacağız, siyah işaretli ikiler her iki sayının da carpanı olduğundan birer defa alınacaklar. Bunlar dışındaki carpanlar da direkt olarak eklenecek. Bu durumda EKOK (28, 16)=7x2x2x2x2=112 olarak hesaplanıyor.
Bu metotta dikkat etmemiz gereken nokta ortak asal carpanlardan yalnızca birer tanesini carpmaya ekliyor olmamız. Siyah daire icindeki 2 ’lerden her iki sayının carpanlarında da olduğu icin onlardan birer tanesini işleme ekliyoruz. Boylelikle 4 adet 2 ve bir adet 7 yi carparak sonuca ulaşabiliyoruz.
[h=3]Yontem #2: Asal carpanları uslerle ifade ederek EKOK hesaplama:[/h] Adım 1#: Asal carpanları belirlemek Adım 2#: Belirlenen sayıları uslu sayılar halinde duzenlemek Adım 3#: Kuvveti en yuksek olanlar ile carpmak Bu metot bir onceki metodun daha kolay bir versiyonu. Bu sefer sayıları asal carpanlarına ayırdıktan sonra uslu sayılar haline gelecek şekilde duzenleme yapıyoruz. Yukarıdaki ornekten devam edecek olursak:
[h=3]Adım 1#: Asal carpanları belirlemek[/h]
Yukarıdaki orneklerde verildiği gibi aynı şekilde 28 ve 16'yı asal carpanlarına ayırıyoruz.
[h=3]Adım 2#: Belirlenen sayıları uslu sayılar halinde duzenlemek[/h]
Asal carpanlarına ayırdıktan sonra belirlediğimiz sayıları ustlu sayılar hailne getiriyoruz.
[h=3]Adım 3#: Kuvveti en yuksek olanlar ile carpmak[/h]
Buradaki carpanlar arasında kuvveti en yuksek olanları alıp carpacağız. Yani 7 ’nin kuvveti 1 olduğundan 7 uzeri 1, 2 ’nin en yuksek kuvveti 4 olduğundan 2 uzeri 4 u carpıma ekleyeceğiz. İşlemi yaptığımızda cevap 112 bulunuyor:
[h=2]EBOB ve EKOK hesaplama aracları:[/h]
EBOB ve EKOK'un nasıl hesaplanacağını yukarıda belirttik. Ne kadar kendi elimizle yapacağımız yollar olsa da, bu hesaplamaları bizim yerimize yapan uygulamalar da mevcut. Bu uygulamalar genel anlamda kullanımı ucretsiz ve bir coğuna internet uzerinden kolayca erişebiliyorsunuz. İnternet sitelerinin yanı sıra mobil cihazlarınızdan da EBOB ve EKOK hesaplayacak uygulamalara cok rahat bir şekilde erişebilirsiniz.
[h=2]Andorid icin EBOB ve EKOK hesaplama aracları: [/h] Ebob Ekok hesaplaİNDİR Ebob ve Ekok hesaplamaİNDİR Ebob ve Ekok hesaplayıcıİNDİR [h=2]İOS icin EBOB ve EKOK hesaplama aracları: [/h] iOS mağazasında bulabileceğiniz uygulamalar maalesef Android'deki kadar ceşitli değil ve uygulamanın kendisi paralı. Fakat yinede ornek olarak vermek istedik.
Ebob ve Ekok hesaplamaİNDİR
Genellikle sayıları asal carpanlarına ayırıp, ardından duruma gore uygun carpanları secerek istersek EBOB ’u ya da EKOK ’u hesaplayabiliyoruz. Gercek dunya ’da bir işe yaramayacaklarmış gibi gozukse de, tekstil gibi pek cok farklı sektorde kullanılabiliyor. Gelin şimdi EBOB ve EKOK nedir, nasıl hesaplanır birlikte bakalım.
[h=2]EBOB Nedir?[/h] En buyuk ortak bolen, iki veya daha fazla sayının en buyuk ortak bolenini ifade eder. Hesaplamak icin kullanılabilecek iki populer metot vardır. Bir tanesi Oklidin Elementler ’de ifade ettiği Oklid algoritması, ikincisi ise kısmen daha kolay ve daha sık kullanılan bir metot.
Herhangi iki sayının EBOB'unu 'EBOB()' şeklinde gosterelim. Oklid algoritması herhangi iki sayı uzerinde calışan bir algoritmadır. Elinizde a ve b sayıları varken uc durumdan soz edebiliriz.
1. Durum: a ve b sayısı birbirine eşittir (a=b) 2. Durum: a sayısı b sayısından buyuktur (a>b) 3. Durum: b sayısı a sayısından buyuktur (b>a) Eşitlik durumunda, iki sayı eşit olduğundan en buyuk ortak bolenleri kendileridir. Yani EBOB(a,b)=a=b olur.
Diğer herhangi bir durumda buyuk olan sayıyı kucuk olana boler, kalan değer sıfır olana dek kucuk sayı ile bolmeye devam ederiz. Şimdi a, b ’den buyukken eğer a ile b nin bolumunden kalan c ve c sıfırdan farklı ise, bu sefer b ile c yi boluyoruz ve kalanına bakıyoruz. Eğer sıfır değilse c ile bu sayıyı bolerek işlemlere devam ediyoruz. Kalan 0 olduğu zaman bulduğumuz kucuk bolen, başlangıctaki iki sayının EBOB ’u oluyor.
[h=2]EBOB nasıl hesaplanır?[/h] Yontem #1: Oklit algoritması ile hesaplama Yontem #2: Carpanlarına ayırarak hesaplama [h=3]Yontem #1: Oklit algoritması ile hesaplama:[/h] Adım 1#: Bolerek başlama Adım 2#: 0'a ulaşana kadar bolme işlemi Bir ornek uzerinden ilerleyelim. Sayılarımız 28 ve 16 olsun.
[h=3]Adım 1#: Bolerek başlama[/h]
28 ile 16 ’yı bolduğumuzde kalan 12 oluyor, sıfırdan farklı olduğu icin devam ediyoruz
[h=3]Adım 2#: 0'a ulaşana kadar bolmeye devam etmek[/h]
16 ile 12'yi bolduğumuzde kalan sayı 4 oluyor halen sıfırdan buyuk olduğu icin devam ediyoruz. Son aşamada ise elimizdeki sayı 12 ve 4 oluyor. Bunların bolumunde ise elimizde kalan 0 oluyor. Bu durumda 4 sayısı 28 ve 16'nın EBOB'u oluyor. Yani EBOB (28, 16)=4
[h=3]Yontem #2: Carpanlarına ayırarak hesaplama:[/h] Adım 1#: Asal carpanlarına ayırmak Adım 2#: Ortak olan asal carpanları secmek [h=3]Adım 1#: Asal carpanlarına ayırmak[/h]
Elimizdeki sayıar 28 ve 16 ’yı ilk olarak asal carpanlarına ayıralım.
[h=3]Adım 2#: Ortak olan asal carpanları secmek ve bulunan ortak sayıları carpmak[/h]
Şimdi ortak olan asal carpanları secelim, iki sayıda da 2 adet 2 ’nin ortak olduğunu goruyoruz. Bu sayıları carparak en buyuk ortak bolenlerini elde etmiş oluruz. Tabii ki cevap yine 4 olur.
[h=2]Peki EKOK nedir?[/h]
En kucuk ortak kat, verilen iki veya daha fazla sayının en kucuk ortak katını bulmamıza olanak sağlıyor. Hesaplamada yine asal carpanlardan yararlanabileceğimiz gibi, iki sayının en buyuk ortak bolenini kullanarak da EKOK hesaplayabiliyoruz.
Birinci metotta asal carpanları sıralayarak başlıyoruz. Ardından ortak carpanları birer defa yazıp, ortak olmayanları da dahil ederek carpma yapıyoruz ve sonuca ulaşıyoruz. İkinci metotta ise elimizdeki iki sayıyı carpıp mutlak değer icerisine alıyoruz. Ardından sonucu bu iki sayının EBOB'una bolerek EKOK ’a ulaşmış oluyoruz. Şimdi bunlara detaylıca bakalım.
[h=2]EKOK nasıl hesaplanır?[/h] Yontem #1: Asal carpanları kullanarak EKOK hesaplama Yontem #2: Asal carpanları uslerle ifade ederek EKOK hesaplama [h=3]Yontem #1: Asal carpanları kullanarak EKOK hesaplama:[/h] Adım 1#: 28 ve 16'yı asal carpanlarına ayırma Adım 2#: Aynı olan carpanlardan birer tane almak ve sonuca ulaşma [h=3]Adım 1#: 28 ve 16'yı Asal carpanlarına ayırma[/h]
EBOB anlatımında yapıldığı gibi aynı şekilde 28 ve 16'yı asal carpanlarına ayırıyoruz
[h=3]Adım 2#: Aynı olan carpanlardan birer tane almak ve sonuca ulaşmak[/h]
Şimdi aynı olan carpanlardan birer tanesini alacağız, siyah işaretli ikiler her iki sayının da carpanı olduğundan birer defa alınacaklar. Bunlar dışındaki carpanlar da direkt olarak eklenecek. Bu durumda EKOK (28, 16)=7x2x2x2x2=112 olarak hesaplanıyor.
Bu metotta dikkat etmemiz gereken nokta ortak asal carpanlardan yalnızca birer tanesini carpmaya ekliyor olmamız. Siyah daire icindeki 2 ’lerden her iki sayının carpanlarında da olduğu icin onlardan birer tanesini işleme ekliyoruz. Boylelikle 4 adet 2 ve bir adet 7 yi carparak sonuca ulaşabiliyoruz.
[h=3]Yontem #2: Asal carpanları uslerle ifade ederek EKOK hesaplama:[/h] Adım 1#: Asal carpanları belirlemek Adım 2#: Belirlenen sayıları uslu sayılar halinde duzenlemek Adım 3#: Kuvveti en yuksek olanlar ile carpmak Bu metot bir onceki metodun daha kolay bir versiyonu. Bu sefer sayıları asal carpanlarına ayırdıktan sonra uslu sayılar haline gelecek şekilde duzenleme yapıyoruz. Yukarıdaki ornekten devam edecek olursak:
[h=3]Adım 1#: Asal carpanları belirlemek[/h]
Yukarıdaki orneklerde verildiği gibi aynı şekilde 28 ve 16'yı asal carpanlarına ayırıyoruz.
[h=3]Adım 2#: Belirlenen sayıları uslu sayılar halinde duzenlemek[/h]
Asal carpanlarına ayırdıktan sonra belirlediğimiz sayıları ustlu sayılar hailne getiriyoruz.
[h=3]Adım 3#: Kuvveti en yuksek olanlar ile carpmak[/h]
Buradaki carpanlar arasında kuvveti en yuksek olanları alıp carpacağız. Yani 7 ’nin kuvveti 1 olduğundan 7 uzeri 1, 2 ’nin en yuksek kuvveti 4 olduğundan 2 uzeri 4 u carpıma ekleyeceğiz. İşlemi yaptığımızda cevap 112 bulunuyor:
[h=2]EBOB ve EKOK hesaplama aracları:[/h]
EBOB ve EKOK'un nasıl hesaplanacağını yukarıda belirttik. Ne kadar kendi elimizle yapacağımız yollar olsa da, bu hesaplamaları bizim yerimize yapan uygulamalar da mevcut. Bu uygulamalar genel anlamda kullanımı ucretsiz ve bir coğuna internet uzerinden kolayca erişebiliyorsunuz. İnternet sitelerinin yanı sıra mobil cihazlarınızdan da EBOB ve EKOK hesaplayacak uygulamalara cok rahat bir şekilde erişebilirsiniz.
[h=2]Andorid icin EBOB ve EKOK hesaplama aracları: [/h] Ebob Ekok hesaplaİNDİR Ebob ve Ekok hesaplamaİNDİR Ebob ve Ekok hesaplayıcıİNDİR [h=2]İOS icin EBOB ve EKOK hesaplama aracları: [/h] iOS mağazasında bulabileceğiniz uygulamalar maalesef Android'deki kadar ceşitli değil ve uygulamanın kendisi paralı. Fakat yinede ornek olarak vermek istedik.
Ebob ve Ekok hesaplamaİNDİR